Modélisation mathématique

Modélisation multi-physique et modèles prédictifs

Afin de résoudre un problème technique, il est d’abord essentiel de le comprendre par l’observation et l’expérience, puis de le formaliser par la modélisation au travers de variables, coefficients, lois d’évolution, lois d’états,… qui ont été déduits de la phase de compréhension grâce aux apports des experts du domaine. Ainsi, modéliser consiste à créer un modèle mathématique qui capture le concept d’un phénomène physique ou d’interaction, grâce aux apports des experts techniques du domaine au travers de leur vision et de leur expérience.

Nos chercheurs sont capables de modéliser des phénomènes multi-physiques complexes alliant possiblement simultanément élasticité et/ou plasticité, thermique, fluide, électromagnétisme, acoustique. Nos chercheurs étudient la résolution théorique de ces équations à dérivées partielles (Fourier, Navier-Stokes, Saint-Venant, Maxwell, Helmholtz) dans des situations complexes ou singulières, et ont développé des outils pour les résoudre dans le cadre de problèmes appliqués.

D’autre part, nos chercheurs peuvent construire des modèles prédictifs alimentés par des algorithmes d’analyse des données, qui permettent de mieux anticiper certains phénomènes afin de les contrôler ou d’apporter des solutions alternatives.

Quantification d’incertitude

Avec quelle précision le modèle considéré représente-t-il le phénomène physique sous-jacent? Quel est l’impact de l’incertitude du modèle sur les résultats numériques ? A partir d’un modèle mathématique donné, avec quelle précision est-il possible d’approcher une sortie spécifiée avec une méthode numérique ? A partir d’un modèle mathématique et d’une méthode numérique donnés, l’erreur dans la solution numérique et dans les sorties spécifiées peut-elle être estimée avec fiabilité et contrôlée par des ressources adaptables ? Afin de répondre à ces questions, il est besoin d’une théorie, nommée quantification d’incertitude.

D’une manière générale, la quantification d’incertitude a pour but de calculer les conséquences des incertitudes sur des prédictions réalisées par un modèle. Ainsi, l’incertitude relative à un modèle mathématique peut porter sur différents aspects : pertinence de la structure du modèle par rapport à la physique réelle, hypothèses de modélisation, données d’entrée, paramètres du modèle, géométrie du domaine de calcul, conditions aux limites, erreur numérique

Le problème de quantification d’incertitude est composé de deux dimensions. La première relève de la propagation à venir de l’incertitude depuis les paramètres du modèle vers les résultats en sortie du modèle. L’autre a trait à l’estimation des incertitudes paramétriques, basée sur les données disponibles.

Nos chercheurs étudient différentes techniques de quantification d’incertitude pour répondre à tous ces défis.

Réduction de modèle

La réduction de modèle permet de simuler de gros modèles dépendant d’un grand nombre de paramètres, ces derniers pouvant avoir un grand nombre de valeurs, de manière beaucoup plus rapide et de manière plus optimisée qu’une méthode classique d’éléments, de différences ou de volumes finis.

Il y a d’abord une étape apprentissage hors ligne de construction d’une base de solutions adaptée à la classe spécifique du problème paramétré. Ainsi, pour un nouveau problème, il est nécessaire de construire une nouvelle base de solutions. Nous sommes capables d’optimiser la construction de ces bases selon le contexte. Cela permet par exemple de faire des calculs en temps réel avec des moyens de calcul très modestes : système embarqué, ordinateur peu performant, tablette, téléphone,…

Nos chercheurs étudient différentes méthodes de réduction de modèle (Reduced Basis Method, Proper Orthogonal Decomposition, Proper Generalized Decomposition, Empirical Interpolation Method) afin d’atteindre des buts divers : accélération des calculs, simulation en temps réel pour des systèmes embarqués, assimilation de données pour l’enrichissement des modèles, placement optimisé de capteurs pour mieux capturer un phénomène…

Traitement du signal

Nos chercheurs ont développé des méthodes efficaces de traitement du signal pour filtrer ou réduire le bruit dans les données, comprimer les données, détecter un signal particulier, et classer les signaux par types.

Pour cela, ils emploient des méthodes comme l’analyse en ondelettes (pour la compression de données, ou l’accélération de l’affichage de l’information) ou les algorithmes gloutons (pour l’approximation parcimonieuse, ou la définition de classes composant le signal).